Os reais como um espaço vetorial sobre os racionais e o Axioma da Escolha

Como “por la boca se muere el pez“, me atreverei a escrever sobre o Axioma da Escolha. Já advirto que se trata de um tema complexo, com sutilezas que não domino completamente. Encarem este post como uma primeira aproximação ao assunto, como uma exposição nível teletubbies. Há muitos livros sobre o assunto, certamente os interessados encontrarão melhores referências por ai.

Comecemos com o exercício 14 da Seção 2.4 do (sempre inspirador) Hoffman&Kunze:

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O exercício nos convida a analisar a reta real \mathbb{R} como um espaço vetorial sobre o corpo dos racionais \mathbb{Q}, com todas as operações usuais. É fácil mostrar que todos os axiomas de um espaço vetorial são respeitados aqui. A complicação vem quando tentamos identificar a dimensão desse espaço. Notem, inicialmente, que se o espaço fosse definido sobre \mathbb{R}, não teríamos a menor dúvida, a dimensão seria um e o espaço seria inteiramente gerado, por exemplo, pelo “vetor” x=1. Porém, como já disse, estes espaços simples podem se tornar bastante intricados se trocamos o corpo para os racionais \mathbb{Q}. Neste caso em particular, a reta que sobre \mathbb{R} tinha dimensão 1, passa a ter dimensão infinita quando considerada sobre \mathbb{Q}.

Este é um problema clássico que pode ser resolvido de diversas maneiras, todas bastante interessantes. Vamos considerar algumas. Como sempre, convido os “corajosos” a postar como comentário alguma outra solução diferente.

Argumento da Cardinalidade

Vamos supor que  (\mathbb{R},\mathbb{Q}) fosse de dimensão finita n. Neste caso, teria uma base composta por n números reais \{x_i\}, i=1\dots n, e um real arbitrário y poderia ser sempre escrito como

y = \alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n,

com \alpha_i\in\mathbb{Q}. Ora, qual será a cardinalidade do conjunto de todos os elementos y que podem ser gerados nessa maneira? Será |\mathbb{Q}^n| = |\mathbb{Q}|= \aleph_0 (vejam os posts anteriores) e, portanto, temos uma contradição, já que \mathbb{R} tem a cardinalidade do contínuo.

Seqüências infinitas LI

Esta talvez seja a solução mais “comum” para o problema: exibir explicitamente uma seqüência arbitrariamente grande de vetores LI em (\mathbb{R},\mathbb{Q}), provando portanto que sua dimensão é infinita. Há muitas (com a cardinalidade do contínuo provavelmente!) seqüências deste tipo. Por exemplo, a formada pela raiz quadrada dos números primos. Este resultado não é difícil de ser provado se considerarmos extensões de corpos do tipo \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\dots ). Vejam uma discussão interessante e com boas referências aqui. A seqüência infinita de reais LI sobre \mathbb{Q} mais simples que conheço é obtida pelos logaritmos dos números primos \{\log p_n \}. Vejamos, se essa seqüência fosse LD, teríamos

a_1\log 2 + a_2\log 3 +a_3\log 5+  \cdots  a_n\log p_n  = 0,

com a_i\in\mathbb{Q} não nulos simultaneamente. Multiplicando-se pelo mmc de todos os denominadores, teremos reduzido os coeficientes a elementos de \mathbb{Z}. Porém, usando-se as propriedades elementares dos logaritmos, teremos

2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\cdots p_n^{a_n}=1,

cuja única solução, invocando-se o teorema fundamental da aritmética, será a_1=a_2=\cdots =a_n=0.

Há muitos outros exemplos de seqüências de reais LI sobre \mathbb{Q}. Vamos ver quantas aparecerão nos comentários… 🙂

Existência dos transcendentais

A outra prova que me ocorre agora é a que envolve a existência dos números transcendentais. Um número transcendental é um numero que não é algébrico. Por sua vez, um número algébrico é um número que é uma raiz de um polinômio de coeficientes racionais. Uma vez mais, multiplicando-se convenientemente pelo mmc dos denominadores, teremos um polinômio de coeficientes inteiros. Os irracionais obtidos por radiciação são todos algébricos, ex.: \sqrt[3]{2} \rightarrow x^3-2=0, \sqrt{2} + \sqrt{3}\rightarrow (x^2-5)^2-6=0, etc. Se \pi é um número transcendental, então a seqüência \{1,\pi,\pi^2,\dots\} é LI sobre  \mathbb{Q} por definição, caso contrário teríamos

a_0+a_1\pi + a_2\pi^2+\cdots + a_n\pi^n=0,

contrariando o fato de \pi ser transcendental e, portanto, não ser raiz de nenhum polinômio de coeficientes inteiros/racionais. O \pi usual é um número transcendental, mas a prova deste fato não é simples. Mais simples, é a prova da transcendentalidade de e, procurem por ai que vocês acharão.

Pode-se inferir a existência de números transcendentais por argumentos de cardinalidade. Notem, primeiro, que os racionais são números algébricos de ordem 1, quer dizer, soluções de polinômios de ordem um com coeficientes inteiros/racionais. Qual a cardinalidade dos algébricos? Resp.: \aleph_0. Quer dizer, a esmagadora maioria dos reais são transcendentais! Um argumento para concluir que a cardinalidade dos algébricos é \aleph_0 é este. Um polinômio de grau n sobre \mathbb{C} terá sempre n raízes distintas (Teorema Fundamental da Álgebra). Quantos polinômios de grau n podemos formar com coeficientes inteiros/racionais? Ora, será |\mathbb{Q}^{n+1}| = \aleph_0, o que nos dá a mesma cardinalidade de possíveis raízes.


Axioma da Escolha

Bem, o Axioma da Escolha entre em cena neste problema se quisermos identificar uma base para (\mathbb{R},\mathbb{Q}), quer dizer, um conjunto (infinito) LI de reais \{x_\mu\} tais que qualquer real y possa ser escrito como uma combinação linear (finita!) de elementos desta base com coeficientes racionais:

y = \sum_k a_k x_{\mu(k)}

Aqui, \mu(k) significa que pegaremos k \ll \infty elementos do conjunto \chi = \{x_\mu\}. Notem que como a_k\in\mathbb{Q}, necessariamente o conjunto \chi deve ter a cardinalidade do contínuo, caso contrário jamais conseguiremos escrever um y real arbitrário como uma combinação linear (finita!) de elementos de \chi.

Bem, vamos agora enunciar, da maneira mais simples, o Axioma da Escolha e ver que papel ele joga neste problema. Em palavras, o Axioma da Escolha nos diz que, dado um conjunto A composto por subconjuntos não vazios S_k, pode-se escolher um elemento de cada um desses subconjuntos. Esta “escolha” pode ser formalizada com uma função do tipo

f:P(A)\to A,

tal que f(S_i)\subset S_i, para todos subconjuntos não vazios S_i\in P(A). O Axioma da Escolha se resume a afirmação que, para um dado conjunto A, existe pelo menos uma “função escolha”.

Deve-se notar que para muitas situações a existência de uma função escolha não oferece nenhuma dificuldade. É o caso, por exemplo, de conjuntos A finitos. Neste casos, o conjunto de todos seus subconjuntos não vazios (P(A)-\{\emptyset\}) também é finito e f pode ser construída, por exemplo, como uma tabela. Notem que, neste caso, podemos construir explicitamente TODAS possíveis funções escolha, que serão também em número finito.  Obviamente, qualquer possível problema com a existência de uma função escolha deve envolver conjuntos infinitos. Porém, mesmo neste caso, há situações em que não há problema nenhum. Por exemplo, consideremos o caso A = \mathbb{N}. Já sabemos que seu conjunto potência tem a cardinalidade do contínuo. Porém, podemos definir uma função escolha para qualquer subconjunto não vazio S_i de \mathbb{N}, por exemplo, escolhendo o menor elemento de S_i. Os naturais tem esta propriedade (chamada do bom ordenamento), que nos garante a existência de um elemento “mínimo” para todo subconjunto não vazio de naturais que consideremos.

Considerem agora o caso de A = \mathbb{R}.  Usando-se a hipótese do contínuo (|\mathbb{R}|=\aleph_1) e o teorema de Cantor, temos que |P(\mathbb{R})|> \aleph_1, quer dizer, o conjunto de subconjuntos não vazios de  \mathbb{R} é gigantesco, com cardinalidade maior que a do contínuo. Como poderíamos definir uma função escolha f neste caso? É claro que para alguns subconjuntos de \mathbb{R} não haveria problema, como, por exemplo, para os S_i\subset \mathbb{N}\subset \mathbb{R}, para os quais poderíamos, novamente, pegar o valor mínimo. O mesmo valeria, por exemplo, para os S_i\subset \mathbb{R} fechados, para os quais sempre haverá um mínimo, assim como um máximo. Mas, considerem, por exemplo, o caso dos S_i\subset \mathbb{R} abertos. Que f poderíamos escolher neste caso? A que retorna o valor mínimo? Não, estes subconjuntos não possuem mínimo. OK, usando nossa criatividade, podemos pegar para os intervalos abertos de \mathbb{R} o valor médio! Muito bem, mas nem todo subconjunto aberto de \mathbb{R} é um intervalo e portanto o valor médio pode simplesmente não existir… Enfim, que f seria essa?!?! Se não conseguimos sequer imaginá-la, como garantir que ela de fato existe!?! É em situações como esta que se admite o Axioma da Escolha, quer dizer, admite-se a EXISTÊNCIA de tal função que não conseguimos sequer imaginar e, portanto, muito menos construir.

Para o nosso problema em particular, admitindo-se o Axioma da Escolha, seremos capazes de selecionar um elemento de qualquer subconjunto S_\mu \in P(\mathbb{R}). Assim sendo, somos capazes, em particular, de selecionar um elemento x_\mu de cada subespaço vetorial unidimensional S_\mu de (\mathbb{R},\mathbb{Q}), e assim teríamos (\mathbb{R},\mathbb{Q}) = {\rm span}(\{x_\mu\}).  Note, e isso é uma característica de toda construção envolvendo o Axioma da Escolha, que, na prática, nada sabemos – além da existência – sobre S_\mu e, muito menos, sobre os elementos x_\mu = f(S_\mu).

Ainda que neste contexto o Axioma da Escolha pareça natural e razoável, há inúmeros paradoxos que surgem a partir do seu uso. Este artigo tem uma ótima discussão sobre este assunto.

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3 comentários sobre “Os reais como um espaço vetorial sobre os racionais e o Axioma da Escolha

  1. Olá. Não entendi muito bem a última demonstração. Como concluir que o conjunto dos reais de fato tem dimensão infinita? Eu me refiro à última demonstração, quando utiliza o Axioma da Escolha.
    Não seria necessário, antes, já saber que há infinitos subespaços unidimensionais?

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