Matrizes e determinantes são material do segundo grau (quinta série), mas obviamente não é possível explorar suas principais sutilezas sem alguns conceitos mais elaborados. O determinante é uma função que associa um número real a uma dada matriz quadrada (como sempre foi até agora, supondo-a com entradas reais)
Sabemos que o determinante é definido por uma fórmula, e que dela decorre uma série de propriedades. Do ponto de vista formal, isto é tudo que precisamos saber para poder trabalhar com determinantes. Porém, por vários motivos, esta não me parece a melhor maneira de introduzir nenhum conceito matemático (ou físico). É muito mais interessante construir o objeto em questão a partir de alguma intuição. Definições são fáceis de serem esquecidas. Já uma intuição adquirida, costuma ser muito mais perene…
Vamos encarar a matriz quadrada como uma coleção ordenada de vetores , . O escalar , então, pode ser visto como uma função sobre este conjunto ordenados de vetores, i.e., . Queremos que o determinante funcione como uma espécie de “detector” de dependência linear desses vetores. Vamos exigir que a função satisfaça as seguintes propriedades:
- Linearidade em todas as entradas:
para todo . - se os vetores forem L.D.
- , sendo a -ésima coluna da identidade (base canônica).
- Anti-simetria: o determinante deve mudar de sinal se permutarmos dois vetores quaisquer
para todos .
As três primeiras propriedades são as que esperaríamos de uma noção de “volume” em . A quarta propriedade diz respeito a “orientação” dos vetores , i.e., podem estar orientados de maneria positiva ou negativa, de acordo com o sinal de . (Lembrem-se do produto misto).
Por simplicidade das fórmulas, consideremos por ora o caso . A matriz em questão será
Usando-se as 3 primeiras propriedades acima, vemos que se reduz a alguns “determinantes elementares”:
que podem ser facilmente calculados das propriedades 2, 3 e 4, e serão 0, 1 ou -1. O determinante será
que é a fórmula de Leibniz para o determinante, neste caso em dimensão 3. Para arbitrário, a extensão é simples: uma soma de produtos envolvendo sempre uma componente de cada vetor (coluna) de , multiplicado pela quantidade correspondente , a qual tem o nome de símbolo de Levi-Civita, e podemos facilmente calculá-la a partir das propriedades 2, 3 e 4 em qualquer dimensão
A fórmula de Leibniz implica na de Laplace. Considerem, por exemplo, o caso
Suponha agora uma “expansão” ao longo da segunda linha de
Os cofatores podem ser lidos diretamente da fórmula de Leibniz:
Fica como exercício mostrar que temos a fórmula usual dos cofatores:
sendo a matriz menor de obtida eliminando-se a linha e a coluna . O caso de arbitrário é análogo.
Pode-se também mostrar diretamente da fórmula de Leibniz (ou da expansão de Laplace) as duas outras propriedades elementares do determinante: e . As provas são diretas, há muito material com isso por ai. Vamos aqui focar em dois outros tópicos.
A matriz adjunta e a fórmula da inversa
Seja a matriz dos cofatores de uma matriz . Seja o vetor tal que seja a -ésima linha de . Considere agora o vetor . O que sabemos sobre ele? Uma coisa é fácil: sua -ésima linha será , pois o produto correspondente será exatamente a expansão de Laplace para o determinante de , confiram! E sobre as outras linhas, podemos afirmar algo?
Sim, claro que podemos. Considere a linha . Pela definição de produto , essa entrada no vetor será
O lado direito dessa equação pode sempre ser interpretado como uma expansão de Laplace. Para , já sabemos que se trata da expansão do determinante de ao longo da -ésima linha. E para o caso ? Ora será a expansão do determinante de uma matriz para a qual as linhas e são iguais. Esta matriz não será posto-completo e, portanto, seu determinante será zero. Teremos finalmente
,
ou ainda
que é a relação fundamental que nos permite escrever a fórmula da inversa de .
A fórmula de Cramer para sistemas lineares
Este é outro tópico do segundo grau cujo conteúdo é um tanto difícil de ser apreciado sem as noções de álgebra linear. Vamos novamente considerar uma matriz , cujas colunas são vetores . O sistema linear pode sempre ser visto como um problema de expansão de vetores:
sendo a -ésima linha do vetor (as incógnitas). Considere agora o seguinte determinante , i.e., o determinante da matriz obtida a partir de trocando-se sua -ésima coluna pelo vetor . Será, obviamente, um número real. Por outro lado, da expressão do sistema linear e das propriedades elementares do determinantes, temos que
,
de onde segue a regra de Cramer conhecida.
A fórmula de Leibniz para determinantes na época saiu dentro desse contexto, ou por outro caminho?
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Ola Alberto, eu não sei, mas tentarei descobrir algo.
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Alberto,
uma revisão histórica que me pareceu muito boa, principalmente por ter referências que parecem confiáveis, é esta:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html
Por sinal, esse é o “MacTutor History of Mathematics archive”
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history
ótimo site com informações históricas (como essa do determinante) e biografias de matemáticos (e alguns físicos) ilustres. Eu costumo pegar fotos desse site (não há violação de copyright!).
Nas referências da revisão sobre a história das matrizes e determinantes, tem este artigo em particular
Clique para acessar o icm1974.2.0561.0570.ocr.pdf
que conta explicitamente o papel do Leibniz no desenvolvimento da teoria.
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Obrigado!
Valeu.
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