O teorema espectral em dimensão infinita

Talvez o mais importante ponto do teorema espectral para matrizes reais simétricas n\times n seja o fato de que seus autovetores sempre geram uma base ortonormal para \mathbb{R}^n. O nome “espectral” sugere também que deve haver alguma relação com certas freqüências, e há. Nos problemas clássicos de vibrações mecânicas, as “freqüências naturais” são autovalores de uma certa matriz simétrica, e estão associadas aos “modos de vibração”, que são os respectivos autovetores. Vocês verão isso em Mecânica Geral, espero. Obviamente, a aplicação “mais famosa” do teorema espectral é na mecânica quântica, especificamente para o caso do operador linear hermitiano conhecido como Hamiltoniana, cujos autovalores estão relacionados aos possíveis níveis de energia admitidos pelo sistema. Ocorre que, quase sempre, os espaços vetoriais pertinentes na Mecânica Quântica são de dimensão infinita. Uma das primeiras questões que sempre surgem são: quais resultados de Álgebra Linear continuam válidos em dimensão infinita? Bem, essa é uma longa história que pautou todo o desenvolvimento no século XX da (riquíssima) área chamada Análise Funcional.

Por ora, vamos mostrar que o nosso teorema espectral em geral não vale em dimensão infinita, e faremos isso exibindo um contra exemplo explícito! Vamos considerar o espaço p(x) dos polinômios de grau arbitrário e coeficientes reais em x\in [-1,1], munido do produto interno

\displaystyle \langle f,g\rangle  = \int_{-1}^1 fg \, dx,

para todos polinômios f,g\in p(x). O espaço p(x) tem dimensão infinita, pois dado um conjunto LI de vetores, é sempre possível adicionar um novo vetor (um polinômio de grau mais alto) e mantê-los todos LI.  Considere agora a transformação linear T:p(x)\to p(x) dada por

T(f) = xf,

para todo f\in p(x).  É evidente que T é linear e simétrica:

\langle T(f),g\rangle  =\langle f,T(g)\rangle

para todos polinômios f,g\in p(x). No entanto, é fácil ver que a transformação T não possui nenhum autovalor. Caso existisse, teríamos obviamente xf=\lambda f, porém isto é impossível, pois os dois lados da igualdade são polinômios em x com graus distintos. Em dimensão infinita, nem todas transformações lineares simétricas terão autovalores reais e, portanto, nem todas terão autovetores que permitam sua diagonalização.  Isto tem implicações importantes, por exemplo, na identificação na Mecânica Quântica das transformações que podem estar associadas a observáveis físicos. Mas isto é uma outra história.

Este operador “multiplicação por x” atuando sobre polinômios também nos dá um exemplo de um fato que sempre causa confusão. Vamos calcular a representação matricial (infinita) deste operador. Para isso, como sempre, temos que escolher uma base para p(x). Escolhamos a base mais simples, a que sempre adotamos quando temos polinômios: \{1,x,x^2,x^3,\dots\}. Se f nessa base é dada pelas componentes (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dots), T(f) será (0,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dots), quer dizer, todos são deslocados uma posição à direita, e por isso este operador se chama também shift (à direita). Matricialmente, temos

T(f) = \left(\begin{array}{cccc} 0  & 0 & 0 & \cdots \\ 1 & 0 &  0 & \cdots \\ 0& 1 & 0 & \cdots \\ \vdots &  \vdots &  \vdots &   \ddots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \vdots \end{array}\right)

A matriz não é simétrica! Como é possível?!?! Ora, isso se deve ao fato de que a base \{1,x,x^2,x^3,\dots\} não é ortonormal em relação ao nosso produto interno! Isso, obviamente, também ocorre em dimensão finita. Uma matriz A simétrica, após uma mudança de base arbitrária, terá a forma S^{-1}AS, e esse produto só será simétrico se S^{-1}=S^t, quer dizer, a nova base deve ser também ortonormal. Para termos uma representação simétrica para T(f), devemos introduzir uma base ortonormal em relação ao nosso produto interno para p(x). Um senhor chamado Adrien-Marie Legendre já resolveu esse problema para vocês 200 anos atras. Notem que esta base, os polinômios (normalizados) de Legendre, pode ser obtida a partir da base  \{1,x,x^2,x^3,\dots\} pelo procedimento de Gram-Schmidt. O importante é que nesta nova base a transformação T(f) terá uma representação matricial (infinita) simétrica

T(f) = \left(\begin{array}{cccc} 0  & a_1 & 0 & \cdots \\ a_1 & 0 &  a_2 & \cdots \\ 0& a_2 & 0 & \cdots \\ \vdots &  \vdots &  \vdots &   \ddots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ \vdots \end{array}\right)

O cálculo destes coeficientes a_1,a_2,\dots requer algumas propriedades dos polinômios de Legendre, e ainda não é o momento certo para estas discussões…. Notem que, da estrutura dessa matriz infinita, fica claro que um polinômio de grau n será sempre levado num de grau n+1, de onde temos que essa matriz infinita não possui nenhum autovalor/autovetor.

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