Lei de inércia de Sylvester e a Relatividade

Na última aula, motivados ainda pela questão do operador em dimensão discutido neste post, falamos da Lei de Inércia de Sylvester e sua importância na Teoria da Relatividade.

Relembrando, a questão dizia respeito às chamadas formas quadráticas, expressões do tipo

\displaystyle \langle X,AY\rangle  = X^tAY,\quad\quad (1)

sendo X,Y\in \mathbb{R}^nA uma matriz n\times n real simétrica. Vimos também que o problema da classificação das cônicas e das quádricas envolvia essencialmente a diagonalização da matriz A, a qual sendo real e simétrica, sempre será diagonalizável e, portanto, existirá sempre uma matriz ortogonal S (a matriz dos autovetores ortonormais) tal que

A = SD S^t\quad\quad (2)

sendo  D a matriz diagonal dos autovalores de A.

Voltemos à forma quadrática (1). Sua expressão, obviamente, depende da base escolhida para representar os vetores X,Y\in \mathbb{R}^n. Numa outra base, os mesmos vetores terão componentes X',Y'\in \mathbb{R}^n, e sabemos que estas representações são relacionadas por uma matriz de mudança de base

 \displaystyle X = PX'

que na prática pode ser qualquer matriz  n\times n invertível. Nessa nova base, a forma quadrática será expressa por X^tAY = X'^t A' Y' , sendo

\displaystyle A' = P^tAP 

Duas matrizes AA' que satisfazem uma relação dessas para uma matriz P invertível são ditas congruentes. Obviamente, se nos restringirmos a P ortogonais, as matrizes serão semelhantes, um problema que já conhecemos. Temos agora duas questões intimamente relacionadas:

  1. Podemos fazer uma mudança de base (i.e., escolher uma matriz invertível P) para a qual a matriz A' é a mais “simples” possível?
  2. Dadas duas matrizes AB reais e simétricas, quando elas serão congruentes?

A resposta para primeira pergunta é sim, como vemos do seguinte resultado:

Teorema. Toda matriz real simétrica A é congruente a uma matriz diagonal com entradas “1”, “-1” ou “0”.

A prova deste teorema decorre diretamente do teorema espectral. Sendo  A uma matriz simétrica, existe uma matriz ortonormal  S tal que (veja (2)):

S^tAS = \left( \begin{array}{cccc}  \lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\  0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\  \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\  0 & 0 &  0 & \lambda_n  \end{array}\right) 

Considerem agora uma matriz diagonal G={\rm Diag}(g_1,g_2,\dots\,g_n). Teremos:

G^tS^tASG = \left( \begin{array}{cccc}  g_1^2\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\  0 &g_2^2 \lambda_2& \cdots & 0\\  \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\  0 & 0 &  0 &g_n^2\lambda_n  \end{array}\right) 

Escolhendo as entradas de G como

 \displaystyle g_k = \left\{ \begin{array}{ll}  1/{\sqrt{|\lambda_k|}}, & {\rm se\ }\lambda_k \ne 0\\  1, &{\rm se\ }\lambda_k = 0  \end{array}\right.\quad\quad (3)

teremos que G^tS^tASG será uma matriz diagonal, cujas entradas serão 1, se o autovalor correspondente for positivo, -1, se for negativo, e 0 se o autovalor for zero. Além disso, como G  dada por (3) é invertível, podemos tomar P=SG, e teremos o teorema. Dá-se o nome de assinatura (ou inércia) da matriz, à trinca (k,\ell, m), sendo, respectivamente, o número de autovalores positivos, negativos e nulos. Obviamente, k+\ell+m=n.

Considerando-se que a congruência de matrizes é uma relação transitiva, i.e., se A é congruente a B e esta por sua vez é congruente a C, então A será congruente a C (mostre!), a resposta para a questão 2 já está dada. Duas matrizes simétricas serão congruentes se e somente se tiverem a mesma assinatura. (Mostre! E não se esqueçam de considerar as permutações pertinentes.) Esta é a chamada lei de inércia de Sylvester. Vejam mais sobre a esse termo “lei de inércia” aqui.

Para apreciarmos o papel deste resultado na Relatividade, temos que destacar que há uma forma quadrática relativística fundamental, é a que define o conceito de intervalo no espaço-tempo. Esta forma tem assinatura (3,1,0) (nesta convenção de sinais). A existência de um autovalor de sinal diferente dos outros três é o que define quem é a “coordenada temporal”: é a direção associada a esse autovalor, enquanto os três outros de mesmo sinal dão origem às “coordenadas espaciais”. A lei de inércia de Sylvester nos diz que, não importa que coordenadas você use, mesmo que você misture coordenadas espaciais e temporais, sempre haverá num dado ponto do espaço-tempo uma única direção associada ao tempo (e três ao espaço). Este resultado é importante para a construção geométrica na noção de espaço-tempo. Aos interessados, este livro tem uma discussão elementar sobre o assunto, provavelmente vocês já tem condições de compreender alguns pontos.

 

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